Autosimilitud
Según B. Mandelnrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o
estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden
estar ligeramente deformadas.
Los fractales
pueden presentar tres tipos de autosimilitud:
§
Autosimilitud exacta. este es el tipo más restrictivo de autosimilitud: exige que
el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en
fractales definidos por sistemas
de funciones iteradas.
§
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente
idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias
menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el
concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría.
Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este
tipo.
§
Autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud:
se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven
con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de
este tipo.
Dimensión
fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
§
La dimensión fractal. Las fórmulas que la definen tienen que ver con
el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas
de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de
unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos
reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc, Con estas medidas
podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos
matemáticos.
§
La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tiene una definición
más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para
comparar conjuntos del mundo real.
Definición por
algoritmos recursivos
Podemos
destacar tres técnicas comunes para generar fractales:
§
Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se
reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja
de Menger, son algunos ejemplos.
§
Fractales de algoritmos de Escape, definidos por una
relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano
complejo): el conjunto de
Mandelbrot, conjunto de Julia, y
el fractal de Lyapunov.
§
Fractales aleatorios, generados por procesos estocásticos, no
deterministas: el movimiento
browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos
últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada..
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